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欧几里得的《几何原本》提出了五条公设，头四条公设分别为：
1.过两点能作且只能作一直线。 2.线段（有限直线）可以无限地延长。 3.以任一点为圆心，任意长为半径，可作一圆。4.凡直角都相等。
第五条公设说：同一平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于两直角，则这两直线经无限延长后在这一侧相交。
长期以来，数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来，显得文字叙述冗长，而且也不那么显而易见。有些数学家还注意到欧几里得在《几何原本》一书中直到第二十九个命题中才用到，而且以后再也没有使用。也就是说，在《几何原本》中可以不依靠第五公设而推出前二十八个命题。因此，一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明第五公设？这就是几何发展史上最著名的，争论了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论。
由于证明第五公设的问题始终得不到解决，人们逐渐怀疑证明的路子走的对不对？第五公设到底能不能证明？
到了十九世纪二十年代，俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基在证明第五公设的过程中，他走了另一条路子。他提出了一个和欧式平行公理相矛盾的命题,用它来代替第五公设，然后与欧式几何的前四个公设结合成一个公理系统，展开一系列的推理。他认为如果这个系统为基础的推理中出现矛盾，就等于证明了第五公设。我们知道，这其实就是数学中的反证法。
但是，在他极为细致深入的推理过程中，得出了一个又一个在直觉上匪夷所思，但在逻辑上毫无矛盾的命题。最后，罗巴切夫斯基得出两个重要的结论：
第一，第五公设不能被证明。
第二，在新的公理体系中展开的一连串推理，得到了一系列在逻辑上无矛盾的新的定理，并形成了新的理论。这个理论像欧式几何一样是完善的、严密的几何学。
这种几何学被称为罗巴切夫斯基几何，简称罗氏几何。这是第一个被提出的非欧几何学。
从罗巴切夫斯基创立的非欧几何学中，可以得出一个极为重要的、具有普遍意义的结论：逻辑上互不矛盾的一组假设都有可能提供一种几何学。
欧几里德把少数不加证明而采用的命题作为公设和公理。《几何原本》中采用的公设只有5条：
公设1 从一点到另一点必可引直线。
公设2 任一直线均可无限制地延长。
公设3 以任一点为中心，任意长线段为半径可以作圆。
公设4 所有直角都相等。
公设5 若两直线与第三直线相交,其一侧的两个内角之和小于两直角时,则这两直线向该侧充分地延长后一定相交。
（说明 这就是著名的第五公设，它与“直线外一点只能引一条直线与已知直线平行”是等价的，所以又有“平行公设”之称。）
《几何原本》中的公理亦共有5条：
公理1 等于同量的量相等。
公理2 等量加等量，其和相等。
公理3 等量减等量，其差相等。
公理4 能迭合的量一定相等。
公理5 整体大于部分。
欧几里德是这样区分公理与公设的：
第一，公理适合于一切科学，而公设是几何所特有的；
第二，公理本身是自明的，公设没有公理那样自明，但也是不加证明而承认其真实性的。
时至今日，人们已不在区分公理与公设了，都用公理一词来表明。
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